סוכה ז ע״ב – ח ע״א · יט ע״ב

סוכה העשויה ככבשןאַ סוכּה װי אַ קאַלך־אויװןThe Kiln-Shaped Sukkah

לסוכה עגולה אין זוויות. אחרים פוסלים אותה, ורבי יוחנן מכשיר בתנאי אחד: שיהיה בהיקפה מקום לעשרים וארבעה בני אדם. מאין המספר 24? הגמרא מנסה לחשב אותו. היא מכניסה ריבוע של ארבע אמות לתוך עיגול, משתמשת ב־3 במקום π וב־1⅖ במקום √2, ומגלה שהמספרים אינם מתיישבים. כאן אפשר לבנות את הסוכה, לשנות את ההנחות, ולראות היכן חשבון הגמרא פוגש את הגיאומטריה המדויקת והיכן הוא נפרד ממנה.אַ קײַלעכדיקע סוכּה האָט ניט קיין װינקלען. אחרים פּסלען זי, און רבי יוחנן איז זי מכשיר מיט איין תּנאי: אַז אין איר היקף זאָל זײַן אָרט פֿאַר פֿיר און צװאַנציק מענטשן. פֿון װאַנען נעמט זיך 24? די גמרא פּרוּװט עס אויסרעכענען. זי שטעלט אַרײַן אַ קװאַדראַט פֿון פֿיר אַמות אין אַ קרײַז, נוצט 3 אָנשטאָט π און 1⅖ אָנשטאָט √2, און געפֿינט אַז די צאָלן שטימען ניט. דאָ קען מען בויען די סוכּה, בײַטן די הנחות, און זען װוּ דער חשבון פֿון דער גמרא טרעפֿט זיך מיט דער גענויער געאָמעטריע און װוּ ער גייט זיך פֿונאַנדער.A round sukkah has no corners. One Tanna disqualifies it; Rabbi Yochanan validates it on one condition: its circumference must seat twenty-four people. Where does 24 come from? The Gemara tries to compute it. It fits a square of four amot into a circle, uses 3 for π and 1⅖ for √2, and finds that the numbers do not close. Here you can build the sukkah, change the assumptions, and see where the Gemara's arithmetic meets exact geometry and where it parts from it.

גמראגמראGemara

סוכה ז ע״ב״אֲחֵרִים אוֹמְרִים: סוּכָּה הָעֲשׂוּיָה כְּשׁוֹבָךְ — פְּסוּלָה, לְפִי שֶׁאֵין לָהּ זָוִיּוֹת.״ שובך עגול. אביי מונה את אחרים בין התנאים שסוברים שסוכה צריכה להיות דירת קבע.אַ טויבנשלאַק איז קײַלעכדיק. אַבּיי רעכנט אַרײַן אחרים צװישן די תּנאים װאָס האַלטן אַז אַ סוכּה דאַרף זײַן אַ דירת־קבֿע.A dovecote is round. Abaye lists Acherim among the Tannaim who hold a sukkah must be a permanent dwelling.

סוכה ח ע״א״סוּכָּה הָעֲשׂוּיָה כְּכִבְשָׁן, אִם יֵשׁ בְּהֶקֵּיפָהּ כְּדֵי לֵישֵׁב בָּהּ עֶשְׂרִים וְאַרְבָּעָה בְּנֵי אָדָם — כְּשֵׁרָה.״ רבי יוחנן. הגמרא שואלת: כמאן? ועונה: כרבי.רבי יוחנן. די גמרא פֿרעגט: כּמאן? און ענטפֿערט: כּרבי.Rabbi Yochanan. The Gemara asks whose view this is, and answers: Rebbi's.

משנהמשנהMishna

משנה סוכה א:יא (יט ע״ב)״הָעוֹשֶׂה סֻכָּתוֹ כְּמִין צְרִיף, אוֹ שֶׁסְּמָכָהּ לְכֹתֶל, רַבִּי אֱלִיעֶזֶר פּוֹסֵל, מִפְּנֵי שֶׁאֵין לָהּ גָּג, וַחֲכָמִים מַכְשִׁירִין.״ צריף הוא אוהל משופע שקירותיו נפגשים למעלה. גם הוא סוכה עגולה, אבל בלי גג.אַ צריף איז אַ שפּיציק געצעלט װאָס זײַנע װענט קומען זיך צונויף אויבן. דאָס איז אויך אַ קײַלעכדיקע סוכּה, נאָר אָן אַ דאַך.A tzarif is a sloped hut whose walls meet at the top. It too is a round sukkah, but with no roof.

סוכה ג ע״א״רַבִּי אוֹמֵר: כׇּל סוּכָּה שֶׁאֵין בָּהּ אַרְבַּע אַמּוֹת עַל אַרְבַּע אַמּוֹת — פְּסוּלָה.״ וחכמים מכשירים בסוכה שמחזקת ראשו ורובו ושולחנו.און די חכמים זײַנען מכשיר אַ סוכּה װאָס האַלט זײַן קאָפּ, דאָס רובֿ פֿון זײַן גוף און זײַן טיש.The Sages accept a sukkah that holds a person's head, most of his body, and his table.

ראשוניםראשוניםRishonimרש״י סוכה ח ע״אעל 1⅖: ״כך שיערו חכמים״. לפי רב אסי היושבים יושבים סביב הסוכה מבחוץ.אויף 1⅖: ״אַזוי האָבן די חכמים געשאַצט״. לויט רבֿ אַסי זיצן די מענטשן אַרום דער סוכּה פֿון דרויסן.On 1⅖: "this is how the Sages estimated." On Rav Asi: the people sit around the sukkah, outside it.

תוספות סוכה ח ע״א ד״ה כל אמתא״אין החשבון מכוון ולא דק, דאיכא טפי פורתא״: האלכסון ארוך מעט מ־1⅖.״אין החשבון מכוון ולא דק, דאיכא טפי פורתא״: דער אלכסון איז אַ ביסל לענגער פֿון 1⅖."The reckoning is not exact": the diagonal is a little longer than 1⅖.

פירוש המשניות לרמב״ם, עירובין א:היחס ההיקף לקוטר אינו ידוע ואי אפשר לדעתו באמת, ולא מחמת חסרון ידיעתנו. בקירוב הוא 3⅐. חכמים לקחו מספר עגול.דער יחס פֿונעם היקף צום דיאַמעטער איז ניט באַקאַנט, און מע קען אים בעצם ניט װיסן, ניט צוליב אונדזער חסרון. בערך איז ער 3⅐. די חכמים האָבן גענומען אַ קײַלעכדיקע צאָל.The ratio of circumference to diameter cannot be known exactly, not for lack of our knowledge but by its nature. It is about 3⅐; the Sages took the round number.

פסקפּסקRulingרמב״ם הל׳ סוכה ד:ז · שו״ע או״ח תרלדלבירור / to verify: סעיףסוכה עגולה כשרה אם יש בה כדי לרבע שבעה טפחים על שבעה טפחים.אַ קײַלעכדיקע סוכּה איז כּשר אויב מע קען אין איר אַרײַנשטעלן אַ קװאַדראַט פֿון זיבן אויף זיבן טפחים.A round sukkah is valid if a 7×7-tefach square fits inside it.

השיעורדער שיעורThe minimum

שני שיעורים: ארבע אמות או שבעה טפחיםצװיי שיעורים: פֿיר אַמות אָדער זיבן טפחיםTwo minimums: four amot or seven tefachim

אמה היא שישה טפחים. רבי דורש סוכה של ארבע אמות על ארבע אמות, כמו בית של קבע. חכמים מסתפקים במקום לראשו ורובו ושולחנו, ושיעורו שבעה טפחים על שבעה טפחים. ההלכה כחכמים. דברי רבי יוחנן הולכים בשיטת רבי, ולכן ה־24 שלו אינו נדרש למעשה; אבל הדרך שבה הגמרא מחשבת אותו היא היא הדרך שבה הפוסקים מודדים סוכה עגולה לשיטת חכמים.אַן אַמה איז זעקס טפחים. רבי פֿאָדערט אַ סוכּה פֿון פֿיר אַמות אויף פֿיר אַמות, װי אַ שטענדיקע דירה. די חכמים באַגנוגענען זיך מיט אָרט פֿאַר זײַן קאָפּ, דאָס רובֿ פֿון גוף און זײַן טיש, און דער שיעור דערפֿון איז זיבן טפחים אויף זיבן טפחים. די הלכה איז װי די חכמים. רבי יוחנן׳ס װערטער גייען לויט רבין, דערפֿאַר איז זײַן 24 למעשׂה ניט נייטיק; אָבער דער אופֿן װי די גמרא רעכנט עס איז דער זעלבער אופֿן װי די פּוסקים מעסטן אַ קײַלעכדיקע סוכּה לויט די חכמים.An amah is six tefachim. Rebbi requires a sukkah of four amot by four amot, like a permanent house. The Sages require only room for a person's head, most of his body, and his table, set at seven tefachim by seven. The halacha follows the Sages. Rabbi Yochanan's statement follows Rebbi, so his 24 is not required in practice; but the way the Gemara computes it is the very way the poskim measure a round sukkah for the Sages' minimum.

רבירביRebbi 4 × 4 אמותאַמותamot = 24 × 24 טפחיםטפחיםtefachim עיגול שהריבוע הזה נכנס בו: קוטר 5⅗ אמות, היקף 16⅘ אמות לפי חשבון הגמרא. במדויק: 5.66 ו־17.77.אַ קרײַז װאָס דער קװאַדראַט גייט אין אים אַרײַן: דיאַמעטער 5⅗ אַמות, היקף 16⅘ אַמות לויטן חשבון פֿון דער גמרא. גענוי: 5.66 און 17.77.The circle that holds this square: diameter 5⅗ amot, circumference 16⅘ by the Gemara's reckoning. Exactly: 5.66 and 17.77.

חכמים · הלכהחכמים · הלכהSages · halacha 7 × 7 טפחיםטפחיםtefachim = 1⅙ × 1⅙ אמותאַמותamot המשנה ברורה כותב שחוט של 29⅖ טפחים מקיף עיגול שאפשר לרבע בו שבעה על שבעה. זה חשבון הגמרא (7 × 1⅖ × 3). במדויק צריך 31.1 טפחים.די משנה־ברורה שרײַבט אַז אַ שנור פֿון 29⅖ טפחים רינגלט אַרום אַ קרײַז װוּ מע קען אַרײַנשטעלן זיבן אויף זיבן. דאָס איז דער חשבון פֿון דער גמרא (7 × 1⅖ × 3). גענוי דאַרף מען 31.1 טפחים.The Mishna Berura writes that a cord of 29⅖ tefachim encloses a circle that can hold seven by seven. That is the Gemara's arithmetic (7 × 1⅖ × 3). Exactly, it takes 31.1 tefachim.

פסקפּסקRuling

רמב״ם הל׳ סוכה ד:ארחבה אין פחות משבעה טפחים על שבעה טפחים.די ברייט ניט װינציקער פֿון זיבן טפחים אויף זיבן טפחים.Its width is no less than seven tefachim by seven.

משנה ברורה תרלד ס״ק א, דשבעה על שבעה הוא שיעור ראשו ורובו ושולחנו. בסוכה עגולה, או בת חמש זוויות ויותר, צריך שיהיה בה כדי לרבע שבעה על שבעה.זיבן אויף זיבן איז דער שיעור פֿון קאָפּ, רובֿ גוף און טיש. אין אַ קײַלעכדיקער סוכּה, אָדער מיט פֿינף װינקלען און מער, דאַרף מען קענען אַרײַנשטעלן זיבן אויף זיבן.Seven by seven is the measure of head, most of the body, and table. A round sukkah, or one with five or more corners, must be able to hold a 7×7 square.

המעבדה · three.jsדי לאַבאָראַטאָריע · three.jsThe lab · three.js

בנו את הסוכה של רבי יוחנןבויט די סוכּה פֿון רבי יוחנןBuild Rabbi Yochanan's sukkah

הדגם התלת־ממדי בנוי בגיאומטריה אמיתית: 24 יושבים, והריבוע הנדרש על הרצפה. אם פינות הריבוע בולטות מעבר לקיר, הן נצבעות באדום. הטבלה והשרטוט מחשבים לפי ההנחות שבחרתם. גררו כדי לסובב.דער דרײַ־דימענסיאָנאַלער מאָדעל איז געבויט מיט אמתער געאָמעטריע: 24 זיצערס, און דער נייטיקער קװאַדראַט אויף דער פּאָדלאָגע. אויב די װינקלען פֿונעם קװאַדראַט שטעקן אַרויס איבער דער װאַנט, װערן זיי רויט. די טאַבעלע און דער צייכענונג רעכענען לויט די הנחות װאָס איר האָט אויסגעקליבן. שלעפּט צו דרייען.The 3D model uses true geometry: 24 seated people and the required square on the floor. If the square's corners poke past the wall, they turn red. The table and the drawing compute with the assumptions you pick. Drag to orbit.

שלבי הגמראדי שטאַפּלען פֿון דער גמראGemara steps

צורהפֿאָרעםShape

גג של טפח בראש הצריףאַ דאַך פֿון אַ טפח אויבןA one-tefach roof at the top

שיעור הסוכהדער שיעור פֿון דער סוכּהMinimum size

√2

רוחב מושב לאדםזיץ־ברייט פֿאַר אַ מענטשSeat width per person

איפה יושביםװוּ מע זיצטWhere people sit

ההיקף נמדד מחוץ לקיר בעובי טפחדער היקף װערט געמאָסטן אויסן פֿון אַ װאַנט אַ טפח דיקCircumference measured outside a 1-tefach wall

סוכה ז ע״ב – ח ע״אסוכה ז ע״ב – ח ע״אSukkah 7b–8a

החשבון של הגמרא, שלב אחר שלבדער חשבון פֿון דער גמרא, שטאַפּל נאָך שטאַפּלThe Gemara's reckoning, step by step

1 ״מִכְּדִי, גַּבְרָא בְּאַמְּתָא יָתֵיב, כֹּל שֶׁיֵּשׁ בְּהֶקֵּיפוֹ שְׁלֹשָׁה טְפָחִים יֵשׁ בּוֹ רוֹחַב טֶפַח — בִּתְרֵיסַר סַגִּי?״ כל יושב תופס אמה, אז 24 יושבים הם היקף של 24 אמות. אבל לרבי מספיק רוחב של ארבע אמות, ועיגול שרחבו 4 היקפו 12. למה 24?יעדער זיצער פֿאַרנעמט אַן אַמה, איז 24 זיצערס אַ היקף פֿון 24 אַמות. אָבער לויט רבין איז גענוג אַ ברייט פֿון פֿיר אַמות, און אַ קרײַז פֿון 4 אין דער ברייט האָט אַ היקף פֿון 12. פֿאַר װאָס 24?Each sitter takes an amah, so 24 sitters make a circumference of 24 amot. But Rebbi needs only four amot across, and a circle four across has a circumference of 12. Why 24? d = 4 → C = 3 × 4 = 12
2 ״הָנֵי מִילֵּי בְּעִיגּוּלָא, אֲבָל בְּרִיבּוּעָא — בָּעֲיָא טְפֵי. מִכְּדֵי כַּמָּה מְרוּבָּע יוֹתֵר עַל הָעִיגּוּל — רְבִיעַ, בְּשִׁיתְּסַר סַגִּי?״ רבי דורש ריבוע, לא עיגול שרחבו ארבע. ריבוע גדול מהעיגול שבתוכו ברביע: היקף 16 מול 12. אז 16 מספיק?רבי פֿאָדערט אַ קװאַדראַט, ניט אַ קרײַז פֿון פֿיר. אַ קװאַדראַט איז גרעסער פֿונעם קרײַז אין אים מיט אַ פֿערטל: אַ היקף פֿון 16 קעגן 12. איז 16 גענוג?Rebbi wants a square, not a circle four across. A square exceeds the circle inside it by a quarter: perimeter 16 against 12. So is 16 enough? 4 × 4 = 16 ; 12 = 16 − ¼·16
3 ״רִיבּוּעָא דְּנָפֵיק מִגּוֹ עִגּוּלָא — בָּעֵינַן טְפֵי, מִשּׁוּם מוּרְשָׁא דְקַרְנָתָא. מִכְּדֵי כׇּל אַמְּתָא בְּרִיבּוּעָא אַמְּתָא וּתְרֵי חוּמְשֵׁי בַּאֲלַכְסוֹנָא, בְּשִׁיבְסַר נְכֵי חוּמְשָׁא סַגִּיא? לָא דָּק.״ הריבוע צריך להיות בתוך העיגול, ופינותיו בולטות. קוטר העיגול הוא אלכסון הריבוע: 4 × 1⅖ = 5⅗. ההיקף: 3 × 5⅗ = 16⅘. אולי רבי יוחנן פשוט עיגל כלפי מעלה? הגמרא דוחה: מעגלים מעט, לא שבע אמות.דער קװאַדראַט מוז זײַן אין קרײַז, און זײַנע װינקלען שטעקן אַרויס. דער דיאַמעטער פֿונעם קרײַז איז דער אלכסון פֿונעם קװאַדראַט: 4 × 1⅖ = 5⅗. דער היקף: 3 × 5⅗ = 16⅘. אפֿשר האָט רבי יוחנן פּשוט אַרויפֿגערונדט? די גמרא װאַרפֿט עס אָפּ: מע רונדט אַ ביסל, ניט זיבן אַמות.The square must sit inside the circle, and its corners stick out. The circle's diameter is the square's diagonal: 4 × 1⅖ = 5⅗. The circumference: 3 × 5⅗ = 16⅘. Did Rabbi Yochanan just round up? The Gemara refuses: one rounds a little, not by seven amot. d = 4 × 1.4 = 5.6 → C = 3 × 5.6 = 16.8
4 ״מִי סָבְרַתְּ גַּבְרָא בְּאַמְּתָא יָתֵיב? תְּלָתָא גַּבְרֵי בְּתַרְתֵּי אַמְּתָא יָתְבִי.״ מר קשישא בריה דרב חסדא: שלושה אנשים יושבים בשתי אמות. אז 24 יושבים הם 16 אמות. אבל צריך 16⅘, ו־16 קטן מזה. הגמרא: מעגלים לחומרא, לא לקולא.מר קשישא בריה דרבֿ חסדא: דרײַ מענטשן זיצן אין צװיי אַמות. איז 24 זיצערס 16 אַמות. אָבער מע דאַרף 16⅘, און 16 איז װינציקער. די גמרא: מע רונדט לחומרא, ניט לקולא.Mar Kashisha son of Rav Chisda: three people sit in two amot. So 24 sitters are 16 amot. But 16⅘ is needed, and 16 is less. The Gemara: one rounds toward stringency, never toward leniency. 24 × ⅔ = 16 < 16.8
5 ״לְעוֹלָם גַּבְרָא בְּאַמְּתָא יָתֵיב, וְרַבִּי יוֹחָנָן מְקוֹם גַּבְרֵי לָא קָחָשֵׁיב.״ רב אסי: אדם תופס אמה, אבל מקומם של היושבים אינו בכלל הריבוע. רש״י: הם יושבים סביב הסוכה מבחוץ. העיגול החיצוני 24, קוטרו 8. מורידים אמה מכל צד, ונשאר קוטר 6 והיקף 18. זה יותר מ־16⅘, ועיגול כזה הוא לחומרא.רבֿ אַסי: אַ מענטש פֿאַרנעמט אַן אַמה, נאָר דער אָרט פֿון די זיצערס איז ניט אין קװאַדראַט. רש״י: זיי זיצן אַרום דער סוכּה פֿון דרויסן. דער דרויסנדיקער קרײַז איז 24, זײַן דיאַמעטער 8. מע נעמט אַראָפּ אַן אַמה פֿון יעדער זײַט, בלײַבט אַ דיאַמעטער 6 און אַ היקף 18. דאָס איז מער פֿון 16⅘, און אַזאַ רונדונג איז לחומרא.Rav Asi: a person does take an amah, but the sitters' own place is not part of the square. Rashi: they sit around the sukkah, outside. The outer circle is 24, so its diameter is 8. Take an amah off each side: diameter 6, circumference 18. That exceeds 16⅘, and rounding up is a stringency. 24 / 3 = 8 → 8 − 2 = 6 → 3 × 6 = 18 ≥ 16.8
6 ״עִיגּוּלָא דְּנָפֵיק מִגּוֹ רִיבּוּעָא — רִבְעָא, רִיבּוּעָא דְּנָפֵיק מִגּוֹ עִיגּוּלָא — פַּלְגָא. וְלָא הִיא, דְּהָא קָחָזֵינַן דְּלָא הָוֵי כּוּלֵּי הַאי.״ רבנן דקיסרי (ויש אומרים דייני דקיסרי) מציעים כלל אחר: עיגול שבתוך ריבוע חסר רביע, וריבוע שבתוך עיגול חסר חצי. אז 16 ועוד חצי, 8, הם 24 בדיוק. הגמרא דוחה מן המראה: רואים שאין זה כל כך הרבה.די רבנן פֿון קיסרי (און טייל זאָגן די דיינים פֿון קיסרי) לייגן פֿאָר אַן אַנדער כּלל: אַ קרײַז אין אַ קװאַדראַט איז קלענער מיט אַ פֿערטל, און אַ קװאַדראַט אין אַ קרײַז איז קלענער מיט אַ האַלב. איז 16 מיט נאָך אַ האַלב, 8, פּונקט 24. די גמרא װאַרפֿט עס אָפּ פֿון דעם װאָס מע זעט: מע זעט אַז עס איז ניט אַזוי פֿיל.The Rabbis of Caesarea (some say its judges) propose another rule: a circle inside a square is a quarter less; a square inside a circle is half less. So 16 plus half, 8, gives exactly 24. The Gemara rejects it by sight: we see it is not that much. 16 + ½ · 16 = 24 ; true: 16 × π√2/4 ≈ 17.77

מקור הכלליםמקור פֿון די כּלליםWhere the rules come from

משנה עירובין א:ה · עירובין יד ע״א״כל שיש בהיקפו שלשה טפחים יש בו רוחב טפח״.״כל שיש בהיקפו שלשה טפחים יש בו רוחב טפח״."Whatever has three tefachim around has one across."

רש״י סוכה ח ע״א״מרובע יתר על העיגול רביע״ היא מתניתא במשנת ארבעים ותשע מדות. ועל 1⅖: ״כך שיערו חכמים״.״מרובע יתר על העיגול רביע״ איז אַ מתניתא אין דער משנה פֿון ארבעים ותשע מדות. און אויף 1⅖: ״כך שיערו חכמים״."A square exceeds the circle by a quarter" is a baraita of the Forty-Nine Measures. On 1⅖: "this is how the Sages estimated."

תוספותתּוספֿותTosafot

ד״ה כמה מרובע יתר על העיגולאין ללמוד את היחס משטח הלוח לפי אורך החוט שמקיף אותו. תוספות מוכיחים את ה״רביע״ בשטח, בחוטים שנפרשים ממרכז העיגול.מע קען ניט לערנען דעם יחס פֿון דעם שטח לויט דער לענג פֿון שנור װאָס רינגלט אים אַרום. תּוספֿות באַװײַזן דעם ״פֿערטל״ אינעם שטח, מיט שנורן װאָס מע שפּרייט אויס פֿון צענטער.One cannot infer area from the length of the cord around a board. Tosafot prove the "quarter" for area, by unrolling cords wound around the center.

ד״ה כל אמתא בריבועריבוע של 10 על 10. הריבוע שעל האלכסונים הוא חציו, 50. לפי 1⅖ צלעו 7, ושטחו רק 49. לכן האלכסון ארוך מעט יותר.אַ קװאַדראַט פֿון 10 אויף 10. דער קװאַדראַט אויף די אלכסונים איז זײַן העלפֿט, 50. לויט 1⅖ איז זײַן זײַט 7, און דער שטח נאָר 49. דערפֿאַר איז דער אלכסון אַ ביסל לענגער.Take a 10×10 square. The square on its half-diagonals is exactly half, 50. By 1⅖ its side is 7, and its area only 49. So the diagonal is a little longer.

ד״ה רבי יוחנן מקום גברי לא קחשיב״על חנם דחק״. רבי יוחנן אמר בעירובין (עו ע״א) שחלון עגול צריך היקף 24 טפחים, ושם אין יושבים כלל. לכן הדברים מתיישבים רק כדייני קיסרי.״על חנם דחק״. רבי יוחנן זאָגט אין עירובֿין (עו ע״א) אַז אַ קײַלעכדיק פֿענצטער דאַרף אַ היקף פֿון 24 טפחים, און דאָרט זיצט קיינער ניט. דערפֿאַר שטימט עס נאָר לויט די דיינים פֿון קיסרי."A needless strain." Rabbi Yochanan says in Eruvin (76a) that a round window needs a circumference of 24 tefachim, and no one sits in a window. So only the Caesarea rule fits.

הגיאומטריה המדויקתדי גענויע געאָמעטריעExact geometry

היכן המספרים נפרדיםװוּ די צאָלן גייען זיך פֿונאַנדערWhere the numbers part ways

גודלגרייסQuantity	גמראגמראGemara	מדויקגענויExact	פערחילוקGap
היקף לקוטרהיקף צו דיאַמעטערCircumference per diameter	3	3.1416	−4.5%
אלכסון לאמהאלכסון פֿאַר אַן אַמהDiagonal per amah	1.4	1.4142	−1.0%
עיגול סביב 4×4 אמותקרײַז אַרום 4×4 אַמותCircle around 4×4 amot	16.80	17.77	−5.5%
רב אסי: העיגול הפנימי של 24 יושביםרבֿ אַסי: דער אינעװייניקער קרײַז פֿון 24 זיצערסRav Asi: inner circle of 24 sitters	18.00	17.72	−1.6%
המרווח שה־24 משאירדער אָפּשטאַנד װאָס 24 לאָזט איבערMargin left by the 24	+7.1%	−0.3%
עיגול לריבוע שבתוכוקרײַז צום קװאַדראַט אין איםCircle to its inscribed square	1.05 · קיסריקיסריCaesarea 1.5	1.111
עיגול סביב 7×7 טפחיםקרײַז אַרום 7×7 טפחיםCircle around 7×7 tefachim	29.4	31.10	−5.5%

שני הקירובים פוחתיםביידע קירובֿים זײַנען צו קלייןBoth approximations fall short 3 קטן מ־π ו־1⅖ קטן מ־√2. לכן ה־16⅘ של הגמרא קטן בכמעט אמה שלמה מהעיגול האמיתי סביב ארבע על ארבע.3 איז קלענער פֿון π און 1⅖ קלענער פֿון √2. דערפֿאַר איז די 16⅘ פֿון דער גמרא כּמעט אַ גאַנצע אַמה קלענער פֿונעם אמתן קרײַז אַרום פֿיר אויף פֿיר.3 is less than π and 1⅖ less than √2. So the Gemara's 16⅘ is almost a full amah below the true circle around four by four.

החומרא מתהפכתדי חומרא דרייט זיך איבערThe stringency flips לפי רב אסי ובמספרי הגמרא, 24 משאיר מרווח של 7%: ״לחומרא לא דק״. במספרים המדויקים חסרים לו 0.3%, כעשירית טפח בקוטר. כדי שריבוע של ארבע אמות ייכנס בדיוק צריך 24.05 יושבים. ה־24 של רבי יוחנן קרוב לאמת יותר מהחשבון שבא ליישב אותו.לויט רבֿ אַסי און מיט די צאָלן פֿון דער גמרא לאָזט 24 איבער 7%: ״לחומרא לא דק״. מיט די גענויע צאָלן פֿעלט אים 0.3%, אַ צענטל טפח אינעם דיאַמעטער. כּדי אַ קװאַדראַט פֿון פֿיר אַמות זאָל פּונקט אַרײַנגיין, דאַרף מען 24.05 זיצערס. רבי יוחנן׳ס 24 איז נעענטער צום אמת װי דער חשבון װאָס װיל אים מיישבֿ זײַן.On Rav Asi with the Gemara's numbers, 24 leaves 7% to spare: "imprecise toward stringency." With exact numbers it is 0.3% short, about a tenth of a tefach across. A four-amah square fits exactly with 24.05 sitters. Rabbi Yochanan's 24 is closer to the truth than the reckoning that explains it.

הגמרא בודקת במראה עיןדי גמרא קוקט נאָך מיט די אויגןThe Gemara checks by eye הכלל של קיסרי נותן 1.5 במקום 1.11. הגמרא דוחה אותו לא מסברא אלא ממדידה: ״קחזינן דלא הוי כולי האי״.דער כּלל פֿון קיסרי גיט 1.5 אָנשטאָט 1.11. די גמרא װאַרפֿט אים אָפּ ניט פֿון אַ סבֿרא נאָר פֿון אַ מעסטונג: ״קחזינן דלא הוי כולי האי״.The Caesarea rule gives 1.5 instead of 1.11. The Gemara rejects it not by argument but by measurement: "we see it is not that much."

ולשבעה טפחיםאון פֿאַר זיבן טפחיםAnd for seven tefachim חוט של 29⅖ טפחים מקיף עיגול שקוטרו 9.36 טפחים. נכנס בו ריבוע של 6.6 טפחים בלבד, לא 7. כיצד הפוסקים מתייחסים לפער הזה למעשה, צריך עיון במקורות.אַ שנור פֿון 29⅖ טפחים רינגלט אַרום אַ קרײַז מיט אַ דיאַמעטער פֿון 9.36 טפחים. אין אים גייט אַרײַן נאָר אַ קװאַדראַט פֿון 6.6 טפחים, ניט 7. װי אַזוי די פּוסקים באַהאַנדלען דעם חילוק למעשׂה, דאַרף מען נאָכקוקן אין די מקורות.A cord of 29⅖ tefachim encloses a circle 9.36 tefachim across. Only a 6.6-tefach square fits in it, not 7. How the poskim treat this gap in practice needs checking in the sources.לבירור / to verify

גבול הדיוקדי גרענעץ פֿון גענויקייטLimits

פירוש המשניות, עירובין א:ההרמב״ם: חכמים ידעו שהמספר בקירוב, ולקחו ״בחשבון הגדול״ את מה שהיו צריכים למדידות התורה.דער רמב״ם: די חכמים האָבן געװוּסט אַז די צאָל איז בערך, און האָבן גענומען ״בחשבון הגדול״ װאָס זיי האָבן געדאַרפֿט פֿאַר די מאָסן פֿון דער תּורה.Rambam: the Sages knew the number was approximate and took the round figure they needed for the Torah's measures.

תוספות שםתוספות אינם מתקנים את 1⅖, אלא מציינים ״לא דק״: יש מעט יותר.תּוספֿות פֿאַרריכטן ניט די 1⅖, נאָר זאָגן ״לא דק״: עס איז אַ ביסל מער.Tosafot do not correct 1⅖; they note it is imprecise: there is a little more.

סוכה יט ע״בסוכה יט ע״בSukkah 19b

הצריף: סוכה עגולה בלי גגדער צריף: אַ קײַלעכדיקע סוכּה אָן אַ דאַךThe tzarif: a round sukkah with no roof

במשנה רבי אליעזר פוסל צריף ״מפני שאין לה גג״: הקירות נפגשים בנקודה, ואין גג נפרד מהדפנות. חכמים מכשירים, כי שיפוע אוהל דינו כאוהל. בברייתא רבי אליעזר מודה אם הגביה את הסוכה טפח מן הקרקע, או הרחיק אותה טפח מן הכותל: אז ניכר מה קיר ומה גג.אין דער משנה פּסלט רבי אליעזר אַ צריף ״מפני שאין לה גג״: די װענט קומען זיך צונויף אין איין פּונקט, און עס איז ניטאָ קיין דאַך באַזונדער פֿון די װענט. די חכמים זײַנען מכשיר, װײַל אַ שיפּוע פֿון אַ געצעלט האָט דעם דין פֿון אַ געצעלט. אין דער ברײַתא איז רבי אליעזר מודה אויב מע האָט די סוכּה אויפֿגעהויבן אַ טפח פֿון דער ערד, אָדער אַװעקגערוקט אַ טפח פֿון דער װאַנט: דעמאָלט זעט מען װאָס איז װאַנט און װאָס איז דאַך.In the Mishna, Rabbi Eliezer disqualifies a tzarif "because it has no roof": the walls meet at a point, and there is no roof distinct from the walls. The Sages validate it, since a sloping tent counts as a tent. A baraita adds that Rabbi Eliezer agrees if it was raised a tefach off the ground, or set a tefach away from the wall: then wall and roof are distinct.

אז מתהפכת המחלוקת. אביי מצא את רב יוסף ישן בכילה בתוך הסוכה ושאל: עזבת את חכמים ונהגת כרבי אליעזר? רב יוסף ענה שבברייתא הדברים הפוכים: רבי אליעזר מכשיר וחכמים פוסלים. המשנה היא גרסת רבי נתן לבדו, ורוב החכמים שונים כברייתא. כך נפסק: הרמב״ם (ד:ז) והשולחן ערוך (או״ח תרלא:י) פוסלים צריף שאין לו גג, ומכשירים אם יש לו גג של טפח או שהדופן הוגבהה טפח מן הקרקע.דערנאָך דרייט זיך איבער די מחלוקת. אַבּיי האָט געטראָפֿן רבֿ יוסף שלאָפֿן אונטער אַ כּילה אין דער סוכּה און געפֿרעגט: האָסטו איבערגעלאָזט די חכמים און זיך געפֿירט װי רבי אליעזר? רבֿ יוסף האָט געענטפֿערט אַז אין דער ברײַתא איז פֿאַרקערט: רבי אליעזר איז מכשיר און די חכמים פּסלען. די משנה איז די גירסא פֿון רבי נתן אַליין, און דאָס רובֿ חכמים לערנען װי די ברײַתא. אַזוי איז געפּסקנט: דער רמב״ם (ד:ז) און דער שולחן־ערוך (או״ח תרלא:י) פּסלען אַ צריף אָן אַ דאַך, און זײַנען מכשיר אויב ער האָט אַ דאַך פֿון אַ טפח אָדער די װאַנט איז אויפֿגעהויבן אַ טפח פֿון דער ערד.Then the dispute flips. Abaye found Rav Yosef asleep under a canopy inside the sukkah and asked: have you left the Sages to follow Rabbi Eliezer? Rav Yosef answered that the baraita has it reversed: Rabbi Eliezer validates, the Sages disqualify. The Mishna is Rabbi Natan's version alone, and most Sages teach the baraita. So the ruling: Rambam (4:7) and the Shulchan Aruch (OC 631:10) disqualify a tzarif with no roof, and validate it with a one-tefach roof or with the wall raised a tefach off the ground.

במעבדה: בחרו ״צריף״ וראו את הנקודה שאין בה גג. סמנו ״גג של טפח״ כדי לקטום את החרוט.אין דער לאַבאָראַטאָריע: קלײַבט ״צריף״ און זעט דעם פּונקט אָן אַ דאַך. צייכנט ״אַ דאַך פֿון אַ טפח״ כּדי אָפּצושנײַדן דעם קאָנוס.In the lab: pick "tzarif" and see the point with no roof. Tick "one-tefach roof" to cut the cone's tip.

פסקפּסקRuling

רמב״ם הל׳ סוכה ד:ז״סוכה שאין לה גג פסולה״, ובאותה הלכה: סוכה עגולה כשרה אם אפשר לרבע בה שבעה על שבעה.״סוכה שאין לה גג פסולה״, און אין דער זעלבער הלכה: אַ קײַלעכדיקע סוכּה איז כּשר אויב מע קען אין איר אַרײַנשטעלן זיבן אויף זיבן."A sukkah with no roof is invalid"; in the same halacha, a round sukkah is valid if a 7×7 square fits in it.

שו״ע או״ח תרלא:יהרמ״א מוסיף: יש אומרים שהטפח לא יהיה אוויר, אלא מן הדופן או מן הסכך.דער רמ״א לייגט צו: טייל זאָגן אַז דער טפח זאָל ניט זײַן לופֿט, נאָר פֿון דער װאַנט אָדער פֿונעם סכך.The Rema adds: some say the tefach may not be empty air; it must be wall or sechach.

לעיון נוסףװײַטער לערנעןFurther reading

הדגם מניח שכל יושב תופס אמה בעומק, כדברי רב אסי. שיעור האמה בסנטימטרים שנוי במחלוקת ואינו משנה דבר בחשבון, ולכן הכול כאן באמות ובטפחים. זה עיון בסוגיא, לא פסק הלכה.דער מאָדעל נעמט אָן אַז יעדער זיצער פֿאַרנעמט אַן אַמה אין דער טיפֿקייט, װי רבֿ אַסי זאָגט. דער שיעור פֿון אַן אַמה אין סאַנטימעטער איז אין מחלוקת און בײַט גאָרנישט אינעם חשבון, דערפֿאַר איז אַלץ דאָ אין אַמות און טפחים. דאָס איז אַן עיון אין דער סוגיא, ניט קיין פּסק־הלכה.The model assumes each sitter takes an amah of depth, as Rav Asi says. The amah in centimeters is disputed and changes nothing in the arithmetic, so everything here is in amot and tefachim. This is a study of the sugya, not a halachic ruling.